một ví dụ tiêu chuẩn là tìm hàm số giá trị thực y(x) trên khoảng [a, b] sao cho y(a) = c và y(b) = d tại đó độ dài quãng đường dọc theo đường cong vẽ bởi y sẽ ngắn nhất có thể

s = ∫ a b d x 2 + d y 2 = ∫ a b 1 + y ′ 2 d x {\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}dx}

hàm lấy tích sẽ là

L ( x , y , y ′ ) = 1 + y ′ 2 {\displaystyle L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}}

những đạo hàm riêng của L sẽ là

∂ L ( x , y , y ′ ) ∂ y ′ = y ′ 1 + y ′ 2 {\displaystyle {\partial L(x,y,y') \over \partial y'}={y' \over {\sqrt {1+y'^{2}}}}}

∂ L ( x , y , y ′ ) ∂ y = 0 {\displaystyle {\partial L(x,y,y') \over \partial y}=0}

bằng cách thay thế những đạo hàm riêng này vào phương trình Euler-Lagrange, ta được

d d x y ′ ( x ) 1 + ( y ′ ( x ) ) 2 = 0 {\displaystyle {d \over dx}{y'(x) \over {\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}=0}

y ′ ( x ) 1 + ( y ′ ( x ) ) 2 = c o n s t a n t {\displaystyle {y'(x) \over {\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}=constant}

⇒ y ′ ( x ) = C 1 − C 2 =: A {\displaystyle \Rightarrow y'(x)={C \over {\sqrt {1-C^{2}}}}=:A}

⇒ y ( x ) = A x + B {\displaystyle \Rightarrow y(x)=Ax+B}

thế là, đạo hàm bậc nhất của hàm số trên là một hằng số, do đó đồ thị của nó là một đường thẳng